78. Решить по формулам Крамера систему уравнений: 5x + 8y + z = 2, 3x − 2y + 6z = −7, 2x + y − z = −5.

По формулам Крамера вычисляем определитель матрицы системы:

\(\Delta=\begin{vmatrix}5&8&1\\3&-2&6\\2&1&-1\end{vmatrix}=5(2-6)-8(-3-12)+(3+4)=107\ne0.\)

Тогда система имеет единственное решение. Заменяем по очереди столбцы матрицы столбцом свободных членов \((2,-7,-5)\):

\(\Delta_x=\begin{vmatrix}2&8&1\\-7&-2&6\\-5&1&-1\end{vmatrix}=-321,\quad \Delta_y=\begin{vmatrix}5&2&1\\3&-7&6\\2&-5&-1\end{vmatrix}=214,\quad \Delta_z=\begin{vmatrix}5&8&2\\3&-2&-7\\2&1&-5\end{vmatrix}=107.\)

По формулам Крамера: \(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=-3,\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=2,\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=1.\)

Ответ: \(x=-3,\ y=2,\ z=1\).