78. Упростить: 1) $\frac{a^{\frac43}(a^{-\frac13}+a^{\frac23})}{a^{\frac14}(a^{\frac34}+a^{-\frac14})}$; 2) $\frac{b^{\frac15}(\sqrt[5]{b^4}-\sqrt[5]{b^{-1}})}{b^{\frac23}(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}})}$; 3) $\frac{a^{\frac53}b^{-1}-a^{-\frac13}}{\sqrt[3]{a^2}}$; 4) $\frac{a^{\frac13}\sqrt b+b^{\frac13}\sqrt a}{\sqrt[6]a+\sqrt[6]b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 78. Упростить: 1) $\frac{a^{\frac43}(a^{-\frac13}+a^{\frac23})}{a^{\frac14}(a^{\frac34}+a^{-\frac14})}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Раскрываем множители в числителе и знаменателе: числитель равен $a+a^2$, знаменатель — $a+1$. Поэтому дробь равна $\frac{a(a+1)}{a+1}=a$.
Представляем корни степенями. Числитель: $b^{\frac15}(b^{\frac45}-b^{-\frac15})=b-1$. Знаменатель: $b^{\frac23}(b^{\frac13}-b^{-\frac23})=b-1$. Дробь равна $1$.
Делим каждый член числителя на $a^{\frac23}$: $\frac{a^{\frac53}b^{-1}}{a^{\frac23}}-\frac{a^{-\frac13}}{a^{\frac23}}=\frac{a}{b}-\frac1a$.
Положим $x=\sqrt[6]a$, $y=\sqrt[6]b$. Тогда числитель равен $x^2y^3+y^2x^3=x^2y^2(x+y)$, а знаменатель — $x+y$. Получаем $x^2y^2=a^{\frac13}b^{\frac13}$.

Ответ: 1) $a$; 2) $1$; 3) $\frac{a}{b}-\frac1a$; 4) $a^{\frac13}b^{\frac13}$.