787. Найдите корни уравнения: 4) (x-1)/(x+3) + (x+1)/(x-3) = (2x+18)/(x^2-9)

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{x-1}{x+3} + \frac{x+1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9} \), нужно:

1. Разложить знаменатель правой части на множители: \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \).
2. Привести все дроби к общему знаменателю \( (x-3)(x+3) \):

   \[ \frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x+18}{(x-3)(x+3)} \]

3. Перенести все члены уравнения в одну сторону:

   \[ \frac{(x-1)(x-3) + (x+1)(x+3) - (2x+18)}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

4. Раскрыть скобки и упростить числитель:

   \[ \frac{(x^2 - 3x - x + 3) + (x^2 + 3x + x + 3) - 2x - 18}{(x-3)(x+3)} = 0 \]
   \[ \frac{x^2 - 4x + 3 + x^2 + 4x + 3 - 2x - 18}{(x-3)(x+3)} = 0 \]
   \[ \frac{2x^2 - 2x - 12}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

5. Приравнять числитель к нулю и найти корни, исключая значения, обращающие знаменатель в ноль (x ≠ 3, x ≠ -3):

   \( 2x^2 - 2x - 12 = 0 \)
   \( x^2 - x - 6 = 0 \)

   Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 × 1 × (-6) = 1 + 24 = 25 \)
   \( \sqrt{D} = 5 \)

   Найдем корни:

   \[ x_1 = \frac{1 + 5}{2 × 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{1 - 5}{2 × 1} = \frac{-4}{2} = -2 \]

   Корень \( x=3 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением уравнения. Единственный корень — \( x = -2 \).

Ответ: x = -2