795. Докажите тождество: a) (y⁴ + y³) (y² - y) = y⁴ (y + 1)(y - 1); б) (a² + 3a) (a² + 3a + 2) = a (a + 1)(a + 2)(a + 3); в) (a² + ab + b²) (a² - ab + b²) = a⁴ + a²b² + b⁴; г) (c⁴ - c² + 1)(c⁴ + c² + 1) = c⁸ + c⁴ + 1.

Решение:

a) Левая часть:

\( (y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^3(y + 1) · y(y - 1) = y^4(y + 1)(y - 1) \)

Левая часть равна правой.

б) Левая часть:

\( (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) \)

Пусть \( b = a^2 + 3a \). Тогда:

\( b(b + 2) = b^2 + 2b = (a^2 + 3a)^2 + 2(a^2 + 3a) \)

\( = a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a^2 + 6a = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a \)

Правая часть:

\( a(a + 1)(a + 2)(a + 3) = a(a + 3)(a + 1)(a + 2) \)

\( = (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) \)

\( = (a^2 + 3a)^2 + 2(a^2 + 3a) = a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a^2 + 6a \)

\( = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a \)

Левая часть равна правой.

в) Левая часть:

\( (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab) = ((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab) \)

\( = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 \)

\( = a^4 + a^2b^2 + b^4 \)

Левая часть равна правой.

г) Левая часть:

\( (c^4 + 1 - c^2)(c^4 + 1 + c^2) = ((c^4 + 1) - c^2)((c^4 + 1) + c^2) \)

\( = (c^4 + 1)^2 - (c^2)^2 = c^8 + 2c^4 + 1 - c^4 \)

\( = c^8 + c^4 + 1 \)

Левая часть равна правой.

Ответ: Тождества доказаны.