7 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах. Ответ:

Решение:

Чтобы найти сумму углов ABC и CAB, мы можем использовать координаты точек на клетчатой бумаге.

Пусть одна клетка соответствует одной единице длины. Определим координаты точек:

• C: (0, 4)
• B: (0, 1)
• A: (3, 2)

Для определения углов воспользуемся вектором и скалярным произведением.

1. Найдем угол ABC:

Вектор BA = A - B = (3 - 0, 2 - 1) = (3, 1)

Вектор BC = C - B = (0 - 0, 4 - 1) = (0, 3)

Скалярное произведение BA ⋅ BC = (3 * 0) + (1 * 3) = 0 + 3 = 3

Длина вектора BA = $$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Длина вектора BC = $$\sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3$$

Косинус угла ABC: $$\cos(\angle ABC) = \frac{\text{BA} \cdot \text{BC}}{|\text{BA}| \cdot |\text{BC}|} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

$$\angle ABC = \arccos{\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}$$

2. Найдем угол CAB:

Вектор AC = C - A = (0 - 3, 4 - 2) = (-3, 2)

Вектор AB = B - A = (0 - 3, 1 - 2) = (-3, -1)

Скалярное произведение AC ⋅ AB = (-3 * -3) + (2 * -1) = 9 - 2 = 7

Длина вектора AC = $$\sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

Длина вектора AB = $$\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Косинус угла CAB: $$\cos(\angle CAB) = \frac{\text{AC} \cdot \text{AB}}{|\text{AC}| \cdot |\text{AB}|} = \frac{7}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{130}}$$

$$\angle CAB = \arccos{\left(\frac{7}{\sqrt{130}}\right)}$$

3. Найдем сумму углов:

Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике ABC, углы равны $$\angle ABC$$, $$\angle CAB$$ и $$\angle BCA$$.
Сначала найдем угол BCA.

Вектор CB = B - C = (0 - 0, 1 - 4) = (0, -3)

Вектор CA = A - C = (3 - 0, 2 - 4) = (3, -2)

Скалярное произведение CB ⋅ CA = (0 * 3) + (-3 * -2) = 0 + 6 = 6

Длина вектора CB = $$\sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$$

Длина вектора CA = $$\sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

Косинус угла BCA: $$\cos(\angle BCA) = \frac{\text{CB} \cdot \text{CA}}{|\text{CB}| \cdot |\text{CA}|} = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$$

$$\angle BCA = \arccos{\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}$$

Сумма углов $$\angle ABC + \angle CAB + \angle BCA = 180^{\circ}$$

$$\angle ABC + \angle CAB = 180^{\circ} - \angle BCA$$

$$\angle ABC + \angle CAB = 180^{\circ} - \arccos{\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}$$

Приближенное значение $$\arccos{\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)} \approx 56.3^{\circ}$$

$$\angle ABC + \angle CAB \approx 180^{\circ} - 56.3^{\circ} = 123.7^{\circ}$$

Альтернативный способ (более простой):

Можно заметить, что точки B и C лежат на одной вертикальной линии (ось Y), а точка A находится справа от нее.

Рассмотрим треугольник, образованный точками A(3,2), B(0,1) и C(0,4).

Длина стороны BC = 4 - 1 = 3.

Длина стороны AB = $$\sqrt{(3-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$.

Длина стороны AC = $$\sqrt{(3-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$.

Теперь найдем углы:

Угол ABC:

Проведем горизонтальную линию из B. Угол между BC (вертикальным) и BH (горизонтальным) равен 90°. Угол между BH и BA нам нужно найти. Наклон BA = (2-1)/(3-0) = 1/3. Угол наклона BH к BA = arctan(1/3) ≈ 18.43°. Угол ABC = 90° + 18.43° = 108.43°.

Угол CAB:

Проведем горизонтальную линию из A. Угол между AC и горизонталью = arctan(|(2-4)/(3-0)|) = arctan(2/3) ≈ 33.69°. Угол между AB и горизонталью = arctan(|(2-1)/(3-0)|) = arctan(1/3) ≈ 18.43°. Угол CAB = 33.69° - 18.43° = 15.26°.

Сумма углов:

$$\angle ABC + \angle CAB = 108.43^{\circ} + 15.26^{\circ} = 123.69^{\circ}$$

Важно: В задании скорее всего подразумевался более простой геометрический подход, основанный на свойствах прямоугольного треугольника, если бы одна из точек была вершиной прямого угла. Поскольку точки B и C лежат на одной вертикали, можно построить вспомогательные прямоугольные треугольники.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами (0,1), (3,1), (3,2). Угол при (3,1) прямой. Угол при A равен arctan(1/3).

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами (0,4), (3,4), (3,2). Угол при (3,4) прямой. Угол при A равен arctan(2/3).

Угол ABC: Можно представить как 90 + arctan(1/3).

Угол CAB: arctan(2/3) - arctan(1/3).

Сумма: 90 + arctan(1/3) + arctan(2/3) - arctan(1/3) = 90 + arctan(2/3) ≈ 90 + 33.69° = 123.69°.

Ответ: 124