8) (1/81)ˣ²⁺¹ = 9ˣ⁻⁵

Решение:

Приведём обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что \( 81 = 9^2 \) и \( \frac{1}{81} = 81^{-1} = (9^2)^{-1} = 9^{-2} \).

1. \( (9^{-2})^{x^2+1} = 9^{x-5} \)
2. \( 9^{-2(x^2+1)} = 9^{x-5} \)
3. \( 9^{-2x^2-2} = 9^{x-5} \)
4. Приравниваем показатели степеней: \( -2x^2 - 2 = x - 5 \)
5. Перенесём все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение с положительным старшим коэффициентом: \( 0 = 2x^2 + x - 5 + 2 \)
6. \( 2x^2 + x - 3 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \)
8. Корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
9. \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \)

Ответ: x = 1, x = -3/2