8.1. а) Если a + 1 делится на 3, докажите, что 4 + 7a делится на 3. б) Если 2 + a и 35 − b делятся на 11, докажите, что a + b делится на 11.

а)

1. По условию существует целое число k, для которого a + 1 = 3k. Значит, a = 3k − 1.
2. Подставим это выражение: 4 + 7a = 4 + 7(3k − 1) = 21k − 3 = 3(7k − 1).

Получили произведение 3 на целое число, поэтому 4 + 7a делится на 3.

б)

1. По условию существуют целые числа m и n, такие что 2 + a = 11m и 35 − b = 11n.
2. Из первого равенства a = 11m − 2, а из второго b = 35 − 11n.
3. Сложим: a + b = (11m − 2) + (35 − 11n) = 11(m − n + 3).

Так как m − n + 3 — целое число, a + b делится на 11.