8.3. Известно, что выражение 14x + 13y делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что 19x + 9y также делится на 11 при таких x и y.

1. Сравним выражение с условием: 19x + 9y = 14x + 13y + 5x − 4y.
2. Из условия 14x + 13y ≡ 0 (mod 11). При этом 14x + 13y ≡ 3x + 2y (mod 11), следовательно, 3x + 2y ≡ 0 (mod 11), то есть x ≡ 3y (mod 11).
3. Тогда 19x + 9y ≡ 8x − 2y ≡ 8·3y − 2y = 22y ≡ 0 (mod 11).

Значит, 19x + 9y делится на 11.