8.2. Для некоторых целых x и y число 3x + 2y делится на 23. Докажите, что число 17x + 19y также делится на 23.

1. Заметим, что 17x + 19y = 6(3x + 2y) − (x − 7y), что само по себе не дает нужного вывода. Найдём представление только через условное выражение: 17x + 19y = 2(3x + 2y) + 11x + 15y.
2. Проверим коэффициенты по модулю 23: 17x + 19y = 6(3x + 2y) − (x − 7y) не является подходящим кратным; решим систему 3c ≡ 17 и 2c ≡ 19 (mod 23). Из первого c ≡ 19, из второго c ≡ 21, что несовместимо.

Следовательно, утверждение не следует из данного условия. Контрпример: x = 2, y = 7. Тогда 3x + 2y = 20, не делится на 23 — не подходит. Возьмём решение 3x + 2y ≡ 0: x = 7, y = 1 даёт 23, тогда 17x + 19y = 138, делится на 23. Для решения сравнения x ≡ 7y (mod 23), выражение 17x + 19y ≡ 17·7y + 19y ≡ 138y ≡ 0 (mod 23).

Так как из 3x + 2y ≡ 0 следует x ≡ 7y (mod 23), то 17x + 19y ≡ 17·7y + 19y = 138y = 23·6y ≡ 0 (mod 23).

Ответ: 17x + 19y делится на 23.