8. (1 балл) Решить уравнение x/(x+1) + 2x/(x-1) = 4/(x²-1)

Решение:

1. Приведём все дроби к общему знаменателю \( x^2 - 1 = (x+1)(x-1) \).
2. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \( (x-1) \), второй — на \( (x+1) \), третью оставим без изменений:
3. \( \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x^2 - 1} \)
4. \( \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} + \frac{2x^2 + 2x}{x^2 - 1} = \frac{4}{x^2 - 1} \)
5. Приравняем числители, учитывая, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \):
6. \( x^2 - x + 2x^2 + 2x = 4 \)
7. \( 3x^2 + x = 4 \)
8. \( 3x^2 + x - 4 = 0 \)
9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \).
10. Корни: \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \).
11. \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \).
12. Поскольку \( x \neq 1 \), первый корень \( x_1 = 1 \) является посторонним.
13. Проверим второй корень: \( x_2 = -\frac{4}{3} \). \( -\frac{4}{3} \neq 1 \) и \( -\frac{4}{3} \neq -1 \).

Ответ: \( x = -\frac{4}{3} \)