8.1. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 18. Найдите AO.

Решение:

По теореме о медианах треугольника, точка пересечения медиан (O) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Так как M и N — середины сторон AB и BC, то AN и CM — медианы треугольника ABC.

По условию, AN = 12. Точка O делит медиану AN в отношении 2:1, т.е. AO : ON = 2 : 1.

Следовательно, AO составляет \( \frac{2}{3} \) от всей медианы AN.

\( AO = \frac{2}{3} \cdot AN \)

\( AO = \frac{2}{3} \cdot 12 \)

\( AO = 2 \cdot 4 \)

\( AO = 8 \)

Ответ: AO = 8.