8. Точки М и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=27, CM=9. Найдите AO.

Решение:

По теореме о медианах треугольника, точка пересечения медиан (O) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Так как M и N — середины сторон AB и BC, то AN и CM — медианы треугольника ABC.

По условию, AN = 27. Точка O делит медиану AN в отношении 2:1, т.е. AO : ON = 2 : 1.

Следовательно, AO составляет \( \frac{2}{3} \) от всей медианы AN.

\( AO = \frac{2}{3} \cdot AN \)

\( AO = \frac{2}{3} \cdot 27 \)

\( AO = 2 \cdot 9 \)

\( AO = 18 \)

Ответ: AO = 18.