8.11 На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -5, -3, 2, 5. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Решение:

Значение производной \( f'(x) \) геометрически соответствует тангенсу угла наклона касательной к графику функции \( y = f(x) \) в данной точке. Наибольшее значение производной будет там, где касательная имеет наибольший положительный наклон (наиболее круто поднимается вверх).

Рассмотрим отмеченные точки:

• В точке \( x = -5 \) функция убывает, производная отрицательна.
• В точке \( x = -3 \) функция убывает, производная отрицательна.
• В точке \( x = 2 \) функция возрастает, производная положительна.
• В точке \( x = 5 \) функция возрастает, производная положительна.

Сравнивая наклон графика в точках \( x = 2 \) и \( x = 5 \), видно, что в точке \( x = 2 \) наклон касательной более крутой и положительный, чем в точке \( x = 5 \). Следовательно, значение производной наибольшее в точке \( x = 2 \).

Ответ: 2