8.12 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/5 t² + 2t + 12, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Решение:

Скорость материальной точки \( v(t) \) является производной от её положения \( x(t) \) по времени \( t \).

1. Найдем производную от закона движения: \( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{5} t^2 + 2t + 12 \right) \).
2. Продифференцируем каждый член: \( v(t) = \frac{1}{5} \cdot 2t + 2 + 0 = \frac{2}{5} t + 2 \).
3. Нам нужно найти момент времени \( t \), когда скорость \( v(t) \) равна \( 6 \) м/с. Приравняем производную к \( 6 \): \( \frac{2}{5} t + 2 = 6 \).
4. Решим полученное уравнение:

\( \frac{2}{5} t = 6 - 2 \)

\( \frac{2}{5} t = 4 \)

\( t = 4 \cdot \frac{5}{2} \)

\( t = 10 \)

Таким образом, скорость точки была равна \( 6 \) м/с в момент времени \( 10 \) секунд.

Ответ: 10