8.19. Решите неравенство: 1) \(\frac{2(x-3)}{x(x-6)}<\frac1{x-1}\); 2) \(\frac{2x+3}{x^2+x-12}<\frac12\).

1) Перенесём всё в левую часть:

\[\frac{2(x-3)}{x(x-6)}-\frac1{x-1}=\frac{2(x-3)(x-1)-x(x-6)}{x(x-6)(x-1)}.\]

Числитель равен \(x^2-2x+6=(x-1)^2+5>0\). Поэтому требуется:

\[x(x-6)(x-1)<0.\]

Критические точки: \(0,1,6\). Отрицательный знак получается на \((-;0)\) и \((1;6)\).

Ответ: \(x\in(-\infty;0)\cup(1;6)\).

2) Перенесём всё в левую часть:

\[\frac{2x+3}{(x+4)(x-3)}-\frac12=\frac{-x^2+3x+18}{2(x+4)(x-3)}=\frac{-(x-6)(x+3)}{2(x+4)(x-3)}.\]

Критические точки: \(-4,-3,3,6\). Точки \(-4\) и \(3\) исключаются из области определения, а \(-3\) и \(6\) не включаются из-за строгого неравенства.

Ответ: \(x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty)\).