8.3. Пловец переплывает реку шириной \(l\). Под каким углом к направлению вектора скорости течения воды он должен плыть, чтобы попасть на противоположный берег за самое короткое время? Чему равно перемещение пловца относительно берега, если скорость течения реки \(v_1\), а скорость пловца относительно воды \(v_2\)?

Чтобы сократить время переправы, нужно максимизировать составляющую скорости пловца поперёк реки. При фиксированной скорости относительно воды \(v_2\) эта составляющая наибольшая, когда пловец направлен перпендикулярно течению.

Следовательно, угол между направлением плавания и вектором скорости течения равен \(90^\circ\). Время переправы равно \(t=l/v_2\). За это время течение сносит пловца вдоль берега на \(v_1t=v_1l/v_2\).

Перемещение относительно берега имеет поперечную составляющую \(l\) и продольную составляющую \(v_1l/v_2\). Его модуль:

\(s=\sqrt{l^2+(v_1l/v_2)^2}=l\sqrt{1+(v_1/v_2)^2}\).

Ответ: плыть под углом \(90^\circ\) к течению; перемещение относительно берега — \(\left(l,\,v_1l/v_2\right)\) по компонентам, его модуль равен \(l\sqrt{1+(v_1/v_2)^2}\).