8.5. Два автомобиля за одинаковое время набрали одинаковую скорость. Первый автомобиль двигался в течение времени t₁ с ускорением a₁, а затем в течение времени t₂ с ускорением a₂. Второй автомобиль двигался в течение времени t₂ с ускорением a₂, а затем в течение времени t₁ с ускорением a₁. В каком случае перемещение тела будет больше, если a₁ > a₂? Решите задачу в общем случае. Проверьте своё решение для частного случая: t₁ = 5 с, a₁ = 2 м/с², t₂ = 10 с, a₂ = 1 м/с².

Предположим, что оба автомобиля начинают движение из состояния покоя и ускорения направлены вдоль движения.

1. Для первого автомобиля перемещение за первый этап равно \(s_1=\frac{a_1t_1^2}{2}\). Скорость в конце этого этапа — \(a_1t_1\), поэтому за второй этап он проходит \(s_2=a_1t_1t_2+\frac{a_2t_2^2}{2}\). Итого \(S_{12}=\frac{a_1t_1^2}{2}+a_1t_1t_2+\frac{a_2t_2^2}{2}\).
2. Для второго автомобиля аналогично \(S_{21}=\frac{a_2t_2^2}{2}+a_2t_2t_1+\frac{a_1t_1^2}{2}\).
3. Вычитая, получаем \(S_{12}-S_{21}=(a_1-a_2)t_1t_2\). При \(a_1>a_2\) и положительных длительностях этапов эта разность положительна, значит, большее перемещение у автомобиля, который сначала двигался с ускорением \(a_1\).
4. Проверка: \(S_{12}=\frac{2\cdot5^2}{2}+2\cdot5\cdot10+\frac{1\cdot10^2}{2}=175\) м; \(S_{21}=\frac{1\cdot10^2}{2}+1\cdot10\cdot5+\frac{2\cdot5^2}{2}=125\) м.

Ответ: большее перемещение — у первого автомобиля; в указанном примере это 175 м против 125 м.