8.6. Два автомобиля приближаются к перекрёстку по взаимно перпендикулярным траекториям с постоянными скоростями v₁ и v₂. В момент времени, когда первый автомобиль достиг перекрёстка, второй находился на расстоянии l₀ от него. Определите минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения.

Пусть за начало отсчёта времени принят момент, когда первый автомобиль достигает перекрёстка. После этого его расстояние от перекрёстка равно \(v_1t\), а расстояние второго автомобиля до перекрёстка — \(l_0-v_2t\). Поскольку траектории перпендикулярны, квадрат расстояния между автомобилями равен \(d^2(t)=v_1^2t^2+(l_0-v_2t)^2\).

1. Минимум расстояния достигается там же, где минимум его квадрата. Раскроем скобки: \(d^2(t)=(v_1^2+v_2^2)t^2-2l_0v_2t+l_0^2\).
2. Это квадратичная функция с положительным коэффициентом при \(t^2\). Её минимум достигается при \(t=\frac{l_0v_2}{v_1^2+v_2^2}\).
3. Подставляя это время, получаем \(d_{\min}^2=\frac{l_0^2v_1^2}{v_1^2+v_2^2}\).

Ответ: \(d_{\min}=\frac{l_0v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\).