8. ABCD — параллелограмм. По отметкам E — середина BC, F — середина AD; отрезки AE и FC пересекают диагональ BD соответственно в точках M и N. Доказать: BM = MN = ND.

Обозначим \(\vec{AB}=\mathbf u\) и \(\vec{AD}=\mathbf v\), приняв A за начало координат. Тогда \(B=\mathbf u\), \(D=\mathbf v\), \(C=\mathbf u+\mathbf v\).

Так как E — середина BC, \(E=\mathbf u+\frac12\mathbf v\). Точка на диагонали BD имеет вид \((1-t)\mathbf u+t\mathbf v\). Для точки M, лежащей на AE, её также можно записать как \(\lambda(\mathbf u+\frac12\mathbf v)\). Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf u\) и \(\mathbf v\), получаем \(\lambda=1-t\) и \(\frac{\lambda}{2}=t\), откуда \(t=\frac13\). Значит, \(BM=\frac13BD\).

Так как F — середина AD, \(F=\frac12\mathbf v\). Точка на FC имеет вид \(s\mathbf u+\frac{1+s}{2}\mathbf v\). Для точки N на BD получаем \(s=1-t\) и \(t=\frac{1+s}{2}\), откуда \(t=\frac23\). Следовательно, \(BN=\frac23BD\).

Тогда \(MN=BN-BM=\frac13BD\), а \(ND=BD-BN=\frac13BD\). Поэтому \(BM=MN=ND\).