8. ∠AOK = 110°, ∠BOM = 150°. Найдите ∠MOK.

Решение:

Угол \( \angle AOB \) является развернутым, то есть равен \( 180° \).

\( \angle AOB = \angle AOK + \angle KOB \) или \( \angle AOB = \angle AOM + \angle MOB \).

Из рисунка видно, что \( A, O, B \) лежат на одной прямой.

\( \angle AOB = \angle AOK + \angle KOC + \angle COM + \angle MOB \) - это неверно, т.к. \( K \) и \( M \) находятся внутри \( \angle AOB \).

Мы имеем: \( \angle AOB = 180° \).

\( \angle AOB = \angle AOM + \angle MOB \)

\( \angle AOB = \angle AOK + \angle KOB \)

\( \angle AOK = 110° \)

\( \angle BOM = 150° \)

\( \angle AOB = \angle AOK + \angle KOB \) → \( 180° = 110° + \angle KOB \) → \( \angle KOB = 180° - 110° = 70° \).

\( \angle AOB = \angle AOM + \angle MOB \) → \( 180° = \angle AOM + 150° \) → \( \angle AOM = 180° - 150° = 30° \).

\( \angle MOK = \angle AOB - \angle AOM - \angle KOB \) - это неверно, т.к. \( M \) может быть между \( A \) и \( K \) или \( K \) между \( A \) и \( M \).

Из рисунка видно, что \( \angle AOK \) и \( \angle BOM \) пересекаются. Луч \( OK \) находится внутри \( \angle BOM \), или луч \( OM \) находится внутри \( \angle AOK \).

Предположим, что \( OM \) находится внутри \( \angle AOK \). Тогда \( \angle AOM < \angle AOK \).

\( \angle AOK = \angle AOM + \angle MOK \)

\( 110° = 30° + \angle MOK \)

\( \angle MOK = 110° - 30° = 80° \).

Проверим с \( \angle BOM \): \( \angle BOM = \angle BOK + \angle KOM \).

\( \angle KOB = 70° \).

\( \angle BOM = 150° \).

\( 150° = 70° + 80° \) → \( 150° = 150° \). Это подтверждает, что \( OM \) находится внутри \( \angle AOK \).

Ответ: \( \angle MOK = 80° \).