9. Периметр ∆ABC равен 60 см, сумма периметров ∆ABD и ∆CBD равна 90 см. Найдите BD.

Решение:

Обозначим стороны треугольников:

\( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \).

\( BD = d \).

Периметр \( \triangle ABC \): \( P_{ABC} = a + b + c = 60 \) см.

Периметр \( \triangle ABD \): \( P_{ABD} = AB + BD + AD = c + d + AD \).

Периметр \( \triangle CBD \): \( P_{CBD} = CB + BD + CD = a + d + CD \).

Сумма периметров \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \):

\( P_{ABD} + P_{CBD} = (c + d + AD) + (a + d + CD) = a + c + 2d + (AD + CD) \).

По условию, \( P_{ABD} + P_{CBD} = 90 \) см.

Точка \( D \) лежит на стороне \( AC \), следовательно, \( AD + CD = AC = b \).

Подставляем \( b \) в уравнение суммы периметров:

\( a + c + 2d + b = 90 \).

Перегруппируем члены:

\( (a + b + c) + 2d = 90 \).

Мы знаем, что \( a + b + c = 60 \) (периметр \( \triangle ABC \)).

Подставляем значение периметра \( \triangle ABC \):

\( 60 + 2d = 90 \).

Решаем уравнение относительно \( d \):

\( 2d = 90 - 60 \)

\( 2d = 30 \)

\( d = \frac{30}{2} \)

\( d = 15 \) см.

Следовательно, \( BD = 15 \) см.

Ответ: \( BD = 15 \) см.