Контрольные задания > 8. Дан правильный девятиугольник ABCDEFGHК с центром О. Площадь треугольника AOD равна 9√3. Найдите длину перпендикуляра ОК, опущенного на диагональ AD.
Вопрос:

8. Дан правильный девятиугольник ABCDEFGHК с центром О. Площадь треугольника AOD равна 9√3. Найдите длину перпендикуляра ОК, опущенного на диагональ AD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание 8. Правильный девятиугольник

Дано:

  • Правильный девятиугольник ABCDEFGHК.
  • Центр О.
  • Площадь треугольника AOD = 9√3.

Найти: длину перпендикуляра ОК (высоты), опущенного на диагональ AD.

Решение:

  1. В правильном девятиугольнике все стороны и углы равны. Диагональ AD соединяет две вершины через две другие вершины (B и C).
  2. Треугольник AOD — равнобедренный, так как OA и OD — радиусы описанной окружности, которые равны.
  3. ОК — это высота, проведённая к основанию AD равнобедренного треугольника AOD. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, и биссектрисой.
  4. Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \). В нашем случае основание — это диагональ AD, а высота — это ОК.
  5. Сначала найдём угол между радиусами OA и OD. Вся окружность имеет 360°. Так как девятиугольник правильный, то центральный угол, опирающийся на одну сторону, равен \( \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ \).
  6. Угол AOD — это центральный угол, опирающийся на две стороны (AB и BC). Нет, AD - это диагональ, а не сторона.
  7. Диагональ AD соединяет вершины A и D. Сколько сторон она охватывает? Между A и D находятся вершины B и C. То есть, диагональ AD охватывает 3 стороны (AB, BC, CD).
  8. Угол AOD будет равен 3 центральным углам: \( 3 \times 40^\circ = 120^\circ \).
  9. Теперь мы знаем площадь треугольника AOD (9√3) и угол AOD (120°). Площадь треугольника также можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab\sin C \). В нашем случае \( S = \frac{1}{2} OA \cdot OD \sin(\angle AOD) \).
  10. Так как OA = OD (радиусы), обозначим их как R.
\[ 9\sqrt{3} = \frac{1}{2} R \cdot R \sin(120^\circ) \]\[ 9\sqrt{3} = \frac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ) \]
  1. Значение \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  2. Подставим:
\[ 9\sqrt{3} = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ 9\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4} \]
  1. Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):
\[ 9 = \frac{R^2}{4} \]
  1. Найдём \( R^2 \):
\[ R^2 = 9 \cdot 4 = 36 \]
  1. Найдём R:
\[ R = \sqrt{36} = 6 \]

Значит, радиус описанной окружности равен 6.

  1. Теперь вернёмся к площади треугольника AOD, используя высоту ОК.
\[ S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OK \]

Нам нужно найти AD. В равнобедренном треугольнике AOD, где OA = OD = 6 и угол AOD = 120°, мы можем найти AD, используя теорему косинусов:

\[ AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 \cdot OA \cdot OD \cos(\angle AOD) \]\[ AD^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cos(120^\circ) \]\[ AD^2 = 36 + 36 - 2 \cdot 36 \cdot (-\frac{1}{2}) \]\[ AD^2 = 72 - 72 \cdot (-\frac{1}{2}) \]\[ AD^2 = 72 + 36 = 108 \]\[ AD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \]
  1. Теперь, когда мы знаем площадь AOD (9√3) и длину AD (6√3), мы можем найти высоту ОК:
\[ 9\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3}) \cdot OK \]\[ 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot OK \]
  1. Выразим ОК:
\[ OK = \frac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 3 \]

Ответ: Длина перпендикуляра ОК равна 3.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие