8. Дано: ABCD — параллелограмм. E и F — середины сторон BC и AD соответственно (по отметкам на рисунке). Прямые AE, FC и диагональ BD пересекаются в точках M и N, где M = AE ∩ BD, N = FC ∩ BD. Доказать: BM = MN = ND.

Обозначим вектора вершин параллелограмма: пусть A = 0, B = u, D = v. Тогда C = u + v.

1. E — середина BC, поэтому E = (B + C)/2 = u + v/2. Точки прямой AE имеют вид t(u + v/2). На диагонали BD точки имеют вид u + s(v − u). Приравнивая коэффициенты при u и v, получаем t = 1 − s и t/2 = s, откуда s = 1/3. Значит, BM = BD/3.
2. F — середина AD, поэтому F = v/2. Точки прямой FC имеют вид F + r(C − F) = v/2 + r(u + v/2). Приравнивая это выражение точкам диагонали BD, получаем r = 1 − s и (1 + r)/2 = s. Отсюда s = 2/3. Значит, BN = 2BD/3.
3. Следовательно, на диагонали порядок точек — B, M, N, D; при этом BM = BD/3, MN = BN − BM = BD/3, ND = BD − BN = BD/3.

Ответ: BM = MN = ND.