8. Дано: ABCD — параллелограмм. На сторонах BC и AD отмечены середины. Отрезок от A к середине BC пересекает диагональ BD в точке M; отрезок от середины AD к C пересекает BD в точке N. Доказать: BM = MN = ND.

Пусть E — середина BC, а F — середина AD. Используем координаты: зададим \(A=(0,0)\), \(D=(2,0)\), \(B=(u,v)\), тогда \(C=(u+2,v)\). Следовательно, \(E=(u+1,v)\), \(F=(1,0)\).

Точка на диагонали BD, отсчитываемая от B к D, имеет вид \(B+t(D-B)\). При \(t=\frac13\) она лежит на AE: её координаты равны \(\left(\frac{u+2}{3},\frac{2v}{3}\right)\), то есть это точка M. Значит, \(BM=\frac13 BD\).

При \(t=\frac23\) точка диагонали имеет координаты \(\left(\frac{2u+4}{3},\frac{v}{3}\right)\) и лежит на FC, поэтому это точка N. Значит, \(BN=\frac23 BD\).

Тогда \(MN=BN-BM=\frac13 BD\), а \(ND=BD-BN=\frac13 BD\). Следовательно, все три отрезка равны.

Что и требовалось доказать.