8. Дано: AECF — параллелограмм; точки B и E и C лежат на одной прямой, точки A, D и F лежат на одной прямой; диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

На фото не видна общая формулировка задания; по чертежу и данным рассматриваю требование доказать, что ABCD — параллелограмм.

1. Из того, что AECF — параллелограмм, следует EC ∥ AF. Так как B лежит на EC, а D — на AF, то BC ∥ AD.

2. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы AOB и COD равны как вертикальные. Углы ABO и CDO равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Кроме того, AO = OC по условию.

3. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому BO = OD. Значит, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD точкой O делятся пополам.

4. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.