9. Дано: AKCF — параллелограмм; точки A, K и B лежат на одной прямой, точки C, F и D лежат на одной прямой; диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

На фото не видна общая формулировка задания; по чертежу и данным рассматриваю требование доказать, что ABCD — параллелограмм.

1. Так как AKCF — параллелограмм, AK ∥ CF. Из коллинеарности A, K, B и C, F, D следует AB ∥ CD.

2. По условию AO = OC, поэтому O — середина диагонали AC.

3. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Углы AOB и COD равны как вертикальные, а углы BAO и DCO равны как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC. Стороны AO и OC равны. Следовательно, треугольники равны, и BO = OD.

4. Таким образом, диагонали AC и BD делятся точкой пересечения O пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.