8. Дано: △KPR, PR = RK; ∠PRH = ∠KRH. Доказать: а) ∠PHR = 90°; б) точка H — середина отрезка PK.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники PRH и KRH. Они равны по двум сторонам и углу между ними: PR = RK по условию, RH — общая сторона, ∠PRH = ∠KRH по условию.
2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠PHR = ∠KHR.
3. Точка H лежит на отрезке PK, поэтому лучи HP и HK — противоположные. Следовательно, углы PHR и KHR смежные, а их сумма равна 180°.
4. Так как эти смежные углы равны, каждый из них равен 90°. Поэтому ∠PHR = 90°.
5. Из равенства треугольников следует также равенство соответствующих сторон: PH = HK.
6. Точка H лежит на отрезке PK и делит его на два равных отрезка, поэтому H — середина отрезка PK.

Ответ: а) ∠PHR = 90°; б) H — середина отрезка PK.