8. Диагональ АС ромба АВСД равна 36, а tgBCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{36}{2} = 18 \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \) имеем \( tg \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).

Нам дано \( tg \angle BCA = \frac{4}{3} \), следовательно, \( \frac{BO}{18} = \frac{4}{3} \).

Отсюда \( BO = \frac{4}{3} \cdot 18 = 4 \cdot 6 = 24 \).

Диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 24 = 48 \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 48 = 18 \cdot 48 = 864 \).

Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле \( S = p \cdot r \), где \( p \) — полупериметр ромба.

Найдем длину стороны ромба \( BC \) по теореме Пифагора в \( \triangle BOC \): \( BC = \sqrt{OC^2 + BO^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \).

Периметр ромба \( P = 4 \cdot BC = 4 \cdot 30 = 120 \).

Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{120}{2} = 60 \).

Теперь найдем радиус: \( r = \frac{S}{p} = \frac{864}{60} = \frac{144}{10} = 14.4 \).

Ответ: 14.4