8. Длины сторон треугольника ABC соответственно равны: BC = 15 см, AB = 13 см, AC = 4 см. Через сторону AC проведена плоскость α, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины B до плоскости α.

Обозначим через H основание перпендикуляра из B на AC. Сначала найдём высоту BH.

Проекция AH определяется по теореме косинусов:

\(AH=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AC}=\frac{13^2+4^2-15^2}{2\cdot4}=-5\) см.

Знак показывает, что проекция лежит за точкой A; её длина равна 5 см. Из прямоугольного треугольника ABH:

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\) см.

Расстояние от B до плоскости α равно составляющей BH, перпендикулярной α. Так как угол между плоскостями равен 30°, это расстояние составляет \(BH\sin 30^\circ\).

\(d=12\cdot\frac12=6\) см.

Ответ: 6 см.