8*. Для всякого значения b решите уравнение (b-5)(b+3)x = b² - 25.

Решение:

Дано уравнение: \( (b-5)(b+3)x = b^2 - 25 \).

1. Представим правую часть как разность квадратов: \( b^2 - 25 = (b-5)(b+5) \).
2. Уравнение примет вид: \( (b-5)(b+3)x = (b-5)(b+5) \).
3. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( b-5 \neq 0 \) (то есть \( b \neq 5 \)).

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на \( (b-5) \):

\[ (b+3)x = (b+5) \]

Теперь рассмотрим, может ли \( (b+3) \) быть равным нулю:

• Если \( b+3 \neq 0 \) (то есть \( b \neq -3 \)), то можно разделить на \( (b+3) \) и получить единственное решение:

\[ x = \frac{b+5}{b+3} \]

• Если \( b+3 = 0 \) (то есть \( b = -3 \)), то уравнение принимает вид:

\[ 0 \cdot x = (-3+5) \]

\[ 0 = 2 \]

Это равенство неверно, значит, при \( b = -3 \) решений нет.

• Случай 2: \( b-5 = 0 \) (то есть \( b = 5 \)).

Подставим \( b=5 \) в исходное уравнение:

\[ (5-5)(5+3)x = 5^2 - 25 \]

\[ 0 · 8x = 25 - 25 \]

\[ 0 = 0 \]

Это верное равенство, оно выполняется при любом значении \( x \). Значит, при \( b = 5 \) уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ:

• Если \( b = 5 \), то уравнение имеет бесконечно много решений.
• Если \( b = -3 \), то решений нет.
• Если \( b \neq 5 \) и \( b \neq -3 \), то \( x = \frac{b+5}{b+3} \).