8. Докажите, что 2 · 4 · 6 · 8 · … · 1990 · 1992 − 1 · 3 · 5 · 7 · … · 1989 · 1991 делится на 1993.

Сравним множители по модулю 1993. Для каждого нечётного числа 2k − 1 от 1 до 1991 соответствующий чётный множитель равен 1993 − (2k − 1), то есть 1994 − 2k. Эти числа составляют все чётные множители от 2 до 1992 в обратном порядке.

Всего таких пар 996. Каждый чётный множитель сравним с противоположным соответствующим нечётным по модулю 1993. Поэтому произведение всех чётных множителей сравнимо с (−1)⁹⁹⁶ умножить на произведение всех нечётных множителей. Так как 996 чётно, эти произведения сравнимы.

Их разность делится на 1993.