8. Докажите, что если в параллелограмме DFOP диагонали DO и FP равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть \(DF=a\), \(FO=b\), а угол между соседними сторонами равен \(\alpha\).

По теореме косинусов для диагоналей параллелограмма:

\(DO^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\),

\(FP^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\).

По условию \(DO=FP\), значит:

\(a^2+b^2+2ab\cos\alpha=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\).

Следовательно, \(4ab\cos\alpha=0\). Так как \(a\ne0\) и \(b\ne0\), то \(\cos\alpha=0\), откуда \(\alpha=90^\circ\).

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.