Контрольные задания > 8) Given a cyclic quadrilateral with diagonals, find x and y.
Вопрос:

8) Given a cyclic quadrilateral with diagonals, find x and y.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, боковые стороны равны. Диагонали, пересекающиеся в центре окружности, делят ее на равные сегменты.

Пошаговое решение:

  • На рисунке изображен вписанный четырехугольник ABCD.
  • BC || AD (обозначено параллельностью двумя черточками). Следовательно, ABCD - равнобедренная трапеция.
  • В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: AB = CD.
  • Диагонали в равнобедренной трапеции равны: AC = BD.
  • O - центр окружности.
  • Угол CAD = y. Он опирается на дугу CD.
  • Угол CBD = y. Он опирается на дугу CD.
  • Угол ABD = x. Он опирается на дугу AD.
  • Угол ACD = x. Он опирается на дугу AD.
  • Угол AOB = угол COD (вертикальные углы).
  • Угол BOC = угол AOD (вертикальные углы).
  • Диагональ AC = BD.
  • Угол BDC = 35°. Он опирается на дугу BC.
  • Угол BAC = 35°. Он опирается на дугу BC.
  • Угол CAD = y. Угол CBD = y.
  • Угол ADB = угол ACB.
  • Угол ABC = угол ADC.
  • Рассмотрим треугольник COD. OC = OD (радиусы), значит, он равнобедренный.
  • Угол OCD = угол ODC.
  • Угол ODC = Угол BDC = 35°.
  • Значит, угол OCD = 35°.
  • Угол COD = 180° - (35° + 35°) = 180° - 70° = 110°.
  • Угол BOC = 180° - 110° = 70°.
  • Угол CAD = y. Угол CBD = y.
  • Угол CAD опирается на дугу CD.
  • Угол CBD опирается на дугу CD.
  • Угол BAC = 35°.
  • Угол ACD = x.
  • Угол ADB = угол ACB.
  • Угол ABC = угол ADC.
  • Угол ABC = Угол ABD + Угол CBD = x + y.
  • Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC = Угол ADB + 35°.
  • x + y = Угол ADB + 35°.
  • Угол ACB = Угол ADB.
  • Угол BCD = Угол ACB + Угол ACD = Угол ADB + x.
  • Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 35° + y.
  • В равнобедренной трапеции ABCD, BC || AD.
  • Угол BCA = Угол CAD (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).
  • Значит, y = Угол BCA.
  • Угол ADB = Угол CAD = y (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BD).
  • Угол ADB = y.
  • Тогда Угол ACB = y.
  • x = Угол ACD.
  • Угол ADB = y.
  • x + y = y + 35°. => x = 35°.
  • Угол ABC = x + y = 35° + y.
  • Угол ADC = y + 35°.
  • Угол ABC = Угол ADC, что соответствует равнобедренной трапеции.
  • Угол BCD = Угол ACB + Угол ACD = y + x = y + 35°.
  • Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 35° + y.
  • Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
  • Угол ABC + Угол ADC = (35° + y) + (y + 35°) = 70° + 2y = 180°.
  • 2y = 110°. => y = 55°.
  • Итак, x = 35°, y = 55°.
  • Проверим: Угол BAD = 35° + 55° = 90°. Угол BCD = 55° + 35° = 90°. 90° + 90° = 180°.

Ответ: x = 35°, y = 55°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие