8) Исследовать функцию на монотонность: \( y=x^{5}-5x^{4}+3 \)

Решение:

Чтобы исследовать функцию на монотонность, найдем её производную и определим знаки производной.

1. Найдем производную функции \( y = x^5 - 5x^4 + 3 \):
   \( y' = (x^5 - 5x^4 + 3)' = (x^5)' - (5x^4)' + (3)' \)
   \( y' = 5x^4 - 20x^3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 5x^4 - 20x^3 = 0 \)
   \( 5x^3(x - 4) = 0 \)
3. Отсюда получаем критические точки:
   \( 5x^3 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \)
   \( x - 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 4 \)
4. Теперь исследуем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \) и \( (4, +\infty) \).
5. Возьмем точку из интервала \( (-\infty, 0) \), например, \( x = -1 \):
   \( y'(-1) = 5(-1)^4 - 20(-1)^3 = 5(1) - 20(-1) = 5 + 20 = 25 > 0 \).
   На интервале \( (-\infty, 0) \) функция возрастает.
6. Возьмем точку из интервала \( (0, 4) \), например, \( x = 1 \):
   \( y'(1) = 5(1)^4 - 20(1)^3 = 5 - 20 = -15 < 0 \).
   На интервале \( (0, 4) \) функция убывает.
7. Возьмем точку из интервала \( (4, +\infty) \), например, \( x = 5 \):
   \( y'(5) = 5(5)^4 - 20(5)^3 = 5(625) - 20(125) = 3125 - 2500 = 625 > 0 \).
   На интервале \( (4, +\infty) \) функция возрастает.

Вывод:

• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 0] \) и \( [4, +\infty) \).
• Функция убывает на интервале \( [0, 4] \).