9) Продолжительность рабочего дня поездной бригады депо Крюково составляет 12 часов. Производительность труда задана функцией \( z(t) = -12t^2 + 72t \). Определить объем услуг, за произведенных последний час работы.

Решение:

Производительность труда задана функцией \( z(t) = -12t^2 + 72t \), где \( t \) — время в часах. Рабочий день составляет 12 часов. Необходимо определить объем услуг, произведенных за последний час работы, то есть за время от \( t = 11 \) до \( t = 12 \).

Объем услуг можно найти, проинтегрировав функцию производительности по времени.

1. Найдем общий объем услуг за 12 часов работы:
   \( V_{12} = \int_{0}^{12} (-12t^2 + 72t) dt \)
   \( V_{12} = [-12\frac{t^3}{3} + 72\frac{t^2}{2}]_{0}^{12} \)
   \( V_{12} = [-4t^3 + 36t^2]_{0}^{12} \)
   \( V_{12} = (-4(12)^3 + 36(12)^2) - (-4(0)^3 + 36(0)^2) \)
   \( V_{12} = (-4(1728) + 36(144)) - 0 \)
   \( V_{12} = (-6912 + 5184) \)
   \( V_{12} = -1728 \).

   Примечание: Полученный отрицательный объем услуг указывает на некорректность постановки задачи или функции производительности, так как объем услуг не может быть отрицательным. Обычно функция производительности описывает скорость выполнения работы, и для нахождения объема работы интегрируют эту функцию. Если функция \( z(t) \) действительно представляет производительность, то отрицательное значение может означать, что после определенного момента времени работа начинает 'отменяться' или происходит что-то, что уменьшает общий объем услуг. Однако, если предположить, что \( z(t) \) — это скорость выполнения некоторой 'полезной' работы, то для нахождения объема за последний час, нам нужно найти интеграл от \( t=11 \) до \( t=12 \).

2. Найдем объем услуг за последний час работы (с 11-го по 12-й час):
   \( V_{последний час} = \int_{11}^{12} (-12t^2 + 72t) dt \)
   \( V_{последний час} = [-4t^3 + 36t^2]_{11}^{12} \)
   \( V_{последний час} = (-4(12)^3 + 36(12)^2) - (-4(11)^3 + 36(11)^2) \)
   \( V_{последний час} = (-4(1728) + 36(144)) - (-4(1331) + 36(121)) \)
   \( V_{последний час} = (-6912 + 5184) - (-5324 + 4356) \)
   \( V_{последний час} = (-1728) - (-968) \)
   \( V_{последний час} = -1728 + 968 \)
   \( V_{последний час} = -760 \)

Примечание: В связи с тем, что функция производительности \( z(t) = -12t^2 + 72t \) является параболой, направленной ветвями вниз, её значение становится отрицательным при \( t > 6 \). Это означает, что после 6 часов работы производительность становится отрицательной, что физически некорректно для понятия 'производительность труда' в контексте объема услуг. Если задача подразумевает, что \( z(t) \) - это скорость выполнения каких-либо действий, приводящих к некоторому 'объему', и эта скорость может быть отрицательной, то результат интеграла отражает чистое изменение этого 'объема'. В контексте 'объема услуг' отрицательное значение за последний час работы не имеет практического смысла.

Однако, если строго следовать математической постановке, то объем услуг, определяемый интегралом от \( t=11 \) до \( t=12 \), равен -760.

Ответ: Если интерпретировать \( z(t) \) как скорость выполнения услуг, то объем услуг за последний час работы равен -760 условных единиц. Следует учесть, что отрицательное значение производительности и объема услуг в данном контексте может свидетельствовать о некорректности исходной функции.