8. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 10 см?

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию, где первый член \( b_1 = 4.8 \) м, а знаменатель \( q = 0.5 \) (так как высота уменьшается в два раза).

1. Переведем высоту 10 см в метры: \( 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} \).
2. Нам нужно найти номер прыжка \( n \), при котором высота \( b_n \) станет меньше 0.1 м. Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 · q^{n-1} \).
3. \( b_n = 4.8 · (0.5)^{n-1} \)
4. Приравниваем \( b_n \) к 0.1 м и решаем неравенство: \( 4.8 · (0.5)^{n-1} < 0.1 \).
5. \( (0.5)^{n-1} < \frac{0.1}{4.8} \)
6. \( (0.5)^{n-1} < \frac{1}{48} \)
7. \( (0.5)^{n-1} < 0.02083... \)
8. Теперь будем подставлять значения \( n \) и смотреть, когда неравенство станет верным:
9. • 1-й прыжок: \( b_1 = 4.8 \) м (не меньше 0.1 м)
   • 2-й прыжок: \( b_2 = 4.8 · 0.5 = 2.4 \) м (не меньше 0.1 м)
   • 3-й прыжок: \( b_3 = 2.4 · 0.5 = 1.2 \) м (не меньше 0.1 м)
   • 4-й прыжок: \( b_4 = 1.2 · 0.5 = 0.6 \) м (не меньше 0.1 м)
   • 5-й прыжок: \( b_5 = 0.6 · 0.5 = 0.3 \) м (не меньше 0.1 м)
   • 6-й прыжок: \( b_6 = 0.3 · 0.5 = 0.15 \) м (не меньше 0.1 м)
   • 7-й прыжок: \( b_7 = 0.15 · 0.5 = 0.075 \) м (меньше 0.1 м)
10. Таким образом, на 7-м прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 10 см.

Ответ: 7.