8 класс С—2, В—2. 1. На сторонах MN и PK параллелограмма KMNP отложены равные отрезки MA и PB. Докажите, что четырёхугольник AMBP — параллелограмм. 2. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если её большее основание равно 16 см, боковая сторона 10 см, а один из углов равен 60°.

1. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому MN ∥ PK. Так как A лежит на MN, а B и P — на PK, получаем AM ∥ BP. По условию AM = PB. В четырёхугольнике AMBP противоположные стороны AM и BP равны и параллельны, следовательно, AMBP — параллелограмм.

2. Опустим высоты из концов меньшего основания. У каждого получившегося прямоугольного треугольника горизонтальная проекция боковой стороны равна 10 · cos 60° = 5 см. Разность оснований равна сумме этих проекций: 5 + 5 = 10 см. Поэтому меньшее основание: 16 − 10 = 6 см.

Ответ: 1) AMBP — параллелограмм; 2) 6 см.