8. Луч КС является биссектрисой угла АKP, ∠AKP = 156° (рис. 87). Вычислите градусную меру угла МКС.

Решение:

Поскольку луч КС является биссектрисой угла АKP, он делит угол пополам:

\( \angle AKC = \angle CKP = \frac{\angle AKP}{2} = \frac{156^{\circ}}{2} = 78^{\circ} \).

Угол AKP является развёрнутым углом, если точки А, К, М лежат на одной прямой, или если угол МКР развёрнутый. По рисунку видно, что А, К, М лежат на одной прямой, образуя развёрнутый угол АKM.

\( \angle AKM = 180^{\circ} \).

Угол AKM состоит из углов AKC и CKM.

\( \angle AKM = \angle AKC + \angle CKM \)

\( 180^{\circ} = 78^{\circ} + \angle CKM \)

\( \angle CKM = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Нам нужно найти угол МКС. Обратим внимание на рисунок. Луч KC делит угол AKP. Луч KM является продолжением луча AK. Угол AKP = 156°. Угол MKS мы ищем.

Угол MKP = 180° (развернутый угол).

\( \angle MKP = \angle MKS + \angle SKP = 180^{\circ} \).

Угол CKP = 78°.

\( \angle MKS = \angle MKP - \angle SKP \)

\( \angle MKS = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Ответ: \( 102^{\circ} \).