8. Математика… (10 баллов). Каждая из четырёх окружностей проходит через три вершины заданного параллелограмма с углом 45° и площадью 2. Найдите площадь четырёхугольника, образованного центрами окружностей.

Обозначим вершины параллелограмма по порядку \(A,B,C,D\). Центр каждой окружности, проходящей через три вершины, — центр описанной окружности соответствующего треугольника.

Пусть стороны параллелограмма имеют длины \(a,b\), а угол между ними равен \(45^\circ\). Площадь параллелограмма равна \(ab\sin45^\circ=2\).

Выберем координаты \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(D=(b/\sqrt2,b/\sqrt2)\), \(C=B+D\). Решая для каждого треугольника условия равенства расстояний от центра до его трёх вершин и применяя формулу площади четырёхугольника по координатам центров, получаем площадь \(ab\sin45^\circ\). Следовательно, площадь четырёхугольника центров равна площади исходного параллелограмма.

Ответ: 2.