8. Медиана треугольника АВС разбивает его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Решение:

• Пусть \( BD \) — медиана треугольника \( \triangle ABC \). Это значит, что \( AD = DC \).
• По условию, периметры двух треугольников, образованных медианой, равны: \( P_{\triangle ABD} = P_{\triangle CBD} \).
• Периметр \( \triangle ABD = AB + AD + BD \).
• Периметр \( \triangle CBD = CB + CD + BD \).
• Приравниваем периметры: \( AB + AD + BD = CB + CD + BD \).
• Вычитаем \( BD \) из обеих частей: \( AB + AD = CB + CD \).
• Так как \( AD = CD \), то \( AB = CB \).
• Если две стороны треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Ответ: Доказано.