8. Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Задание 8: Скорость лодки

Дано:

• Расстояние (туда и обратно): \( S = 210 \) км.
• Скорость течения реки: \( v_{теч} = 3 \) км/ч.
• Разница во времени: \( Δt = 4 \) часа.

Найти: скорость лодки в неподвижной воде \( v_{лод} \).

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( v \).
2. Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v - v_{теч} = v - 3 \) км/ч.
3. Скорость лодки по течению (обратный путь): \( v_{по \; теч} = v + v_{теч} = v + 3 \) км/ч.
4. Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{210}{v-3} \) часа.
5. Время в пути по течению: \( t_{по \; теч} = \frac{S}{v_{по \; теч}} = \frac{210}{v+3} \) часа.
6. По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 4 часа меньше, чем на путь против течения:

\[ t_{против} - t_{по \; теч} = 4 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{210}{v-3} - \frac{210}{v+3} = 4 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (v-3)(v+3) \):

\[ \frac{210(v+3) - 210(v-3)}{(v-3)(v+3)} = 4 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{210v + 630 - 210v + 630}{v^2 - 9} = 4 \]

\[ \frac{1260}{v^2 - 9} = 4 \]

Теперь решим полученное уравнение:

\[ 1260 = 4(v^2 - 9) \]

\[ 1260 = 4v^2 - 36 \]

\[ 4v^2 = 1260 + 36 \]

\[ 4v^2 = 1296 \]

\[ v^2 = \frac{1296}{4} \]

\[ v^2 = 324 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ v = \sqrt{324} \]

\[ v = 18 \]

Скорость лодки должна быть положительной, и \( v > v_{теч} \) (т.е. \( v > 3 \)), что выполняется.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.