8. Мотоциклист ехал по грунтовой дороге со скоростью 23 км/ч, а затем по шоссе. По шоссе он проехал на 13 км больше, чем по грунтовой дороге, и ехал на 14 км/ч быстрее. Сколько минут он ехал по грунтовой дороге, если вся поездка заняла ровно 1 ч?

1. Скорость мотоциклиста на шоссе равна \(23+14=37\) км/ч.
2. Пусть по грунтовой дороге он проехал \(x\) км. Тогда по шоссе он проехал \(x+13\) км. По условию суммарное время равно 1 часу: \(\frac{x}{23}+\frac{x+13}{37}=1\).
3. Умножим уравнение на 851: \(37x+23(x+13)=851\). Тогда \(60x+299=851\), откуда \(x=9.2\) км.
4. Время движения по грунтовой дороге: \(9.2:23=0.4\) ч, то есть \(0.4\cdot60=24\) минуты.

Ответ: 24 минуты.