8. Можно ли поставить на одну прямую четыре точки так, чтобы попарные расстояния между ними были равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6 м?

Да. Расположим точки на прямой в порядке A, B, C, D так, чтобы AB = BC = CD = 1 м. Тогда AC = 2 м, BD = 2 м, AD = 3 м. Получаются расстояния 1, 1, 1, 2, 2 и 3 м, а не требуемый набор.

Для любых четырёх точек на одной прямой с координатами x₁ < x₂ < x₃ < x₄ наибольшее расстояние равно x₄ − x₁, а сумма двух внутренних промежутков равна (x₃ − x₁) + (x₄ − x₂). Эта сумма равна наибольшему расстоянию плюс средний промежуток, поэтому среди шести расстояний должны найтись три, для которых одно равно сумме двух других. В наборе 1, 2, 3, 4, 5, 6 это условие выполняется: 1 + 5 = 6.

Покажем расположение: A = 0, B = 1, C = 5, D = 6. Тогда расстояния AB = 1, AC = 5, AD = 6, BC = 4, BD = 5, CD = 1 — это не нужный набор. Но условие требует каждое из шести попарных расстояний ровно по одному разу; при линейном расположении расстояния между последовательными точками должны быть тремя числами, а остальные три — их попарными суммами. Чтобы получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, три последовательных промежутка должны суммироваться так, чтобы все шесть значений совпали. Это невозможно: наименьшее расстояние — один из промежутков, а второе наименьшее — также промежуток; тогда их сумма должна быть одним из оставшихся расстояний, но сумма 1 + 2 = 3 заставляет третий промежуток быть 3. При этом сумма первых двух промежутков уже равна 3, а сумма последних двух равна 5, и крайнее расстояние равно 6; набор не образуется, так как среди внутренних сумм повторяется 3.

Ответ: нет.