8. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:

Значение производной функции \( f'(x_0) \) в точке \( x_0 \) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

На рисунке касательная проходит через две точки, которые легко определить по координатной сетке:

• Точка А: \( (-1, 1) \)
• Точка B: \( (1, 5) \)

Для нахождения тангенса угла наклона найдём разницу координат Y и X между этими точками:

\( \Delta y = y_B - y_A = 5 - 1 = 4 \)

\( \Delta x = x_B - x_A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)

Тангенс угла наклона \( k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{2} = 2 \).

Таким образом, \( f'(x_0) = 2 \).

Ответ: 2