8. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки Д и Е так, что отрезки AD и СЕ равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и ВЕ тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( D \in AC \), \( E \in AC \), \( AD = CE \), \( BD = BE \).
Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle BDC \) и \( \triangle BEC \).
2. У них общая сторона \( BC \).
3. По условию \( AD = CE \).
4. Так как \( D \) и \( E \) лежат на стороне \( AC \), то \( AC = AD + DE = CE + DE \).
5. Из \( AD = CE \) следует, что \( AC = CE + DE \).
6. Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBE \).
7. По условию \( AD = CE \).
8. \( BD = BE \) (по условию).
9. \( AB \) и \( BC \) — стороны \( \triangle ABC \).
10. Рассмотрим \( \triangle BDE \). Так как \( BD = BE \), то \( \triangle BDE \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle BDE = \angle BED \).
11. \( \angle ADB \) и \( \angle BDE \) — смежные углы, \( \angle ADB + \angle BDE = 180^{\circ} \).
12. \( \angle BEC \) и \( \angle BED \) — смежные углы, \( \angle BEC + \angle BED = 180^{\circ} \).
13. Отсюда \( \angle ADB = \angle BEC \).
14. Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBE \).
15. У них \( AD = CE \) (по условию).
16. \( BD = BE \) (по условию).
17. \( \angle ADB = \angle CEB \) (смежные углы с равными углами \( \angle BDE = \angle BED \)).
18. Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CBE \) по двум сторонам и углу между ними (или по двум углам и стороне между ними, если рассматривать \( \angle BAD \) и \( \angle BCE \)).
19. Из равенства треугольников следует, что \( AB = CB \).
20. Таким образом, \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Доказано.