8. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Пусть начало отсчёта находится в точке B. Тогда положение точек задаётся векторами: \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

1. O — середина диагонали BD, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\frac12\vec y\).
2. P — середина CD. Так как \(\overrightarrow{CD}=\vec x\), имеем \(\overrightarrow{CP}=\frac12\vec x\). Следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\vec y+\frac12\vec x\).
3. \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BP}+\vec x=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12\vec x+\frac12\vec y\); \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\); \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).