8. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 4, при делении на 8 даёт остаток 6. Обоснуйте ответ.

Числа, дающие при делении на 8 остаток 6, имеют вид \(n=8k+6\), где \(k\) — целое неотрицательное число. Требуем остаток 4 при делении на 5:

\[8k+6\equiv4\pmod 5,\qquad 3k+1\equiv4\pmod 5,\qquad 3k\equiv3\pmod 5.\]

Отсюда \(k\equiv1\pmod 5\). Наименьшее неотрицательное подходящее значение — \(k=1\), поэтому \(n=8\cdot1+6=14\). Проверка: \(14=2\cdot5+4=1\cdot8+6\).

Ответ: 14.