8. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если одно из оснований равно 6 см, боковая сторона - 15 см, высота - 9 см.

Решение:

Формула площади трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} h \). Нам известна высота \( h = 9 \) см и боковая сторона \( L = 15 \) см. Одно из оснований равно \( 6 \) см. Нужно найти второе основание.

Случай 1: Верхнее основание равно 6 см.

1. Опустим высоту из вершин верхнего основания на нижнее. Образуются два прямоугольных треугольника, в которых:
   • Гипотенуза \( = 15 \) см.
   • Один катет \( = 9 \) см (высота).
   • Второй катет (отрезок на нижнем основании) \( = \frac{b-a}{2} \).
2. Найдем второй катет по теореме Пифагора: \( (\frac{b-a}{2})^2 = L^2 - h^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 \).
3. \( \frac{b-a}{2} = \textrm{sqrt}(144) = 12 \) см.
4. Тогда \( b-a = 2 \times 12 = 24 \) см.
5. Так как \( a = 6 \) см, то \( b = a + 24 = 6 + 24 = 30 \) см.
6. Площадь трапеции: \( S = \frac{6+30}{2} \times 9 = \frac{36}{2} \times 9 = 18 \times 9 = 162 \) см².

Случай 2: Нижнее основание равно 6 см.

1. Тогда \( b = 6 \) см.
2. Найдем верхнее основание \( a \) из равенства \( b-a = 24 \), то есть \( 6-a = 24 \).
3. \( a = 6 - 24 = -18 \). Это невозможно, так как длина основания не может быть отрицательной.

Ответ: 162 см².