8. Найдите стороны параллелограмма, если P = 36, RM = 1,5 RN, а TN — биссектриса угла QTR.

Обозначим \(RM=a\), \(QR=b\). В параллелограмме \(TQ=RM=a\), \(TR=QM=b\), а \(a+b=36:2=18\).

По теореме о биссектрисе в треугольнике QTR: \(QN:RN=TQ:TR=a:b\). Так как \(QR=QN+RN=b\), получаем \(b^2=RN(a+b)\).

Из условия \(a=1.5RN\), то есть \(RN=\frac{2a}{3}\). Поэтому \(b^2=\frac{2a}{3}\cdot18=12a\). Подставим \(a=18-b\): \(b^2=12(18-b)\), откуда \(b^2+12b-216=0\).

Положительный корень: \(b=-6+6\sqrt7\). Тогда \(a=18-b=24-6\sqrt7\).

Ответ: RM = 24 − 6√7; QR = 6√7 − 6 (приблизительно 8,13 и 9,87).