8. Найдите все корни уравнения lg(10x) · lg(0,1x) = 3.

Решение:

Используем свойства логарифмов:

• \( \lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x \)
• \( \lg(0.1x) = \lg (10^{-1} x) = \lg 10^{-1} + \lg x = -1 + \lg x \)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( (1 + \lg x)(-1 + \lg x) = 3 \)

Пусть \( y = \lg x \). Тогда уравнение принимает вид:

\( (1 + y)(-1 + y) = 3 \)

\( y^2 - 1 = 3 \)

\( y^2 = 4 \)

\( y = \pm 2 \)

Теперь вернёмся к \( x \):

Случай 1: \( y = 2 \)

\( \lg x = 2 \)

\( x = 10^2 \)

\( x = 100 \)

Случай 2: \( y = -2 \)

\( \lg x = -2 \)

\( x = 10^{-2} \)

\( x = 0.01 \)

Проверим корни. Оба значения \( x \) положительны, поэтому логарифмы определены.

Ответ: 100; 0.01.